Muchos estudiantes que estudian matemáticas superiores en sus últimos años probablemente se preguntaron: ¿dónde se aplican en la práctica las ecuaciones diferenciales (ED)? Como regla general, este tema no se discute en las clases magistrales y los profesores pasan inmediatamente a resolver ED sin explicar a los estudiantes la aplicación de ecuaciones diferenciales en la vida real. Intentaremos llenar este vacío.
Comencemos por definir una ecuación diferencial. Entonces, una ecuación diferencial es una ecuación que conecta el valor de la derivada de una función con la función en sí, los valores de la variable independiente y algunos números (parámetros).
El área más común en la que se aplican las ecuaciones diferenciales es la descripción matemática de los fenómenos naturales. También se utilizan en la resolución de problemas en los que es imposible establecer una relación directa entre algunos valores que describen un proceso. Tales problemas surgen en biología, física, economía.
En biología:
El primer modelo matemático significativo que describe las comunidades biológicas fue el modelo Lotka-Volterra. Describe una población de dos especies que interactúan. El primero de ellos, llamado depredador, en ausencia del segundo, muere según la ley x ′ = –ax (a> 0), y el segundo - presa - en ausencia de depredadores se multiplica indefinidamente de acuerdo con la ley de Malthus. La interacción de estos dos tipos se modela de la siguiente manera. Las víctimas mueren a una tasa igual al número de encuentros de depredadores y presas, que en este modelo se supone que es proporcional al tamaño de ambas poblaciones, es decir, igual a dxy (d> 0). Por lo tanto, y ′ = por - dxy. Los depredadores se reproducen a una velocidad proporcional al número de presas ingeridas: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Sistema de ecuaciones
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = por - dxy, (2)
el depredador-presa que describe tal población se llama sistema (o modelo) Lotka-Volterra.
En física:
La segunda ley de Newton se puede escribir en forma de ecuación diferencial.
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), donde m es la masa del cuerpo, x es su coordenada, F (x, t) es la fuerza que actúa sobre el cuerpo con la coordenada x en el tiempo t. Su solución es la trayectoria del cuerpo bajo la acción de la fuerza especificada.
En economía:
Modelo de crecimiento natural de la producción
Supondremos que algunos productos se venden a un precio fijo P. Sea Q (t) la cantidad de productos vendidos en el tiempo t; entonces, en este momento, el ingreso es igual a PQ (t). Dejemos que una parte de los ingresos especificados se gaste en inversiones en la producción de productos vendidos, es decir,
Yo (t) = mPQ (t), (1)
donde m es la tasa de inversión - un número constante, y 0
